《抽象代数I》习题解答:第一章 群环体域的基本概念


By Shuai Shi | Time:2020/08/07 | Categories: Exercises | Tags: Group

1.1 群的基本概念

1、证明群的定义可以简化为:如果一个非空集合$G$上定义了一个二元运算$\circ$,满足:

  1. 结合律: $(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\ (\forall a,b,c\in G)$
  2. 存在左幺元: 存在$e\in G$,使得对任意的$a\in G$,恒有 $$e\circ a=a;$$
  3. 存在左逆元: 对任意的$a\in G$,存在$b\in G$,使得 $$b\circ a=e;$$$G$关于运算$\circ$构成一个群。

解答: $\forall a\in G$,存在$b\in G$,使得$b\circ a=e$,则对于$b$,存在$c\in G$,使得$c\circ b=e$,则 $$ \begin{aligned} & b\circ (a\circ e)=(b\circ a)\circ e=e\circ e=e =b\circ a \\ \Rightarrow & c\circ (b\circ (a\circ e))=c\circ (b\circ a) \\ \Rightarrow & (c\circ b)\circ (a\circ e)=(c\circ b)\circ a \\ \Rightarrow & e\circ (a\circ e)=e\circ a \\ \Rightarrow & a\circ e=a \end{aligned} $$ 因此,存在$e\in G$,对任意$a\in G$$e\circ a=a\circ e=a$,即$G$存在幺元。假设存在另一个$e_1\in G$,使得$e_1\circ a=a\circ e_1=a$,则 $$e_1=e\circ e_1=e_1\circ e=e$$ 即,$G$存在唯一的幺元。

由于$b\circ a=e$,则 $$ \begin{aligned} & (b\circ a)\circ b=b \\ \Rightarrow & c\circ ((b\circ a)\circ b))=c\circ b \\ \Rightarrow & (c\circ b)\circ (a\circ b)=e \\ \Rightarrow & e\circ (a\circ b)=e \\ \Rightarrow & a\circ b=e \\ \end{aligned} $$ 因此,对任意$a\in G$,存在$b\in G$,使得$a\circ b=b\circ a=e$,即$G$中每个元素存在逆元。假设存在另一个$b_1\in G$,使得$a\circ b_1=b_1\circ a=e$,则 $$b_1=b_1\circ(a\circ b)=(b_1\circ a)\circ b=b$$ 即,$G$中任意元素存在唯一的逆元。 综上所述,$G$是群。


2、举例说明:在上题中将条件3.改为“存在右逆元: 对任意的$a\in G$,存在$b\in G$,使得$a\circ b=e$”,则$G$不一定是群。

解答:$G=\{e,a\}$,其中$e,a$是二阶矩阵,$G$上的运算$\circ$为矩阵的乘法,$e,a$的值为 $$e=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, a=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix},$$ $G$显然满足条件1.。而 $$e\circ a=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}=a$$ $$e\circ e=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=e$$ 即存在$e\in G$,对任意$a\in G$,都有$a\circ a=a$,因此$G$满足条件2.。又有 $$a\circ e=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=e$$ 即对任意的$a\in G$,存在$b\in G$,使得$a\circ b=e$,因此$G$满足新的条件3.。但,由上可知$e\circ a\ne a\circ e$,因此$e$不满足幺元定义,因此$G$不是群。


3、设$G$是一个非空集合,其中定义了一个二元运算$\circ$。证明:如果此运算满足结合律,并且对$G$中的任意两个元素$a,b$,方程$a\circ x=b$$y\circ a=b$都在$G$中有解,则$(G,\circ)$是群。

解答: 由题可知,对$\forall a, c \in G$,存在$x\in G$,使得$c\circ x=a$,同时存在$e\in G$,使得$e\circ c=c$,即$e\circ a=a$。由$a$的任意性可知,$G$存在左幺元。而又存在$b\in G$,使得$b\circ a=e$,由$a$的任意性可知,$G$的每个元素存在左逆元。综上,$(G,\circ)$是群。


4、设$G$是一个非空的有限集合,其中定义了一个二元运算$\circ$。证明:如果此运算满足结合律,并且对于$G$中任意三个元素$a,b,c$,都有(左消去律)$ab=ac\Rightarrow b=c$,以及(右消去律)$ba=ca\Rightarrow b=c$,则$(G,\circ)$是群。

解答: 由于$G$为有限集合,不妨令$G=\{g_1,\dots,g_n\}$,其中$n$$G$的元素个数。由题可知,对$\forall i,j,k\in [1,n]$$g_ig_j=g_ig_k\Rightarrow g_j=g_k$,因此$g_ig_1,\dots,g_ig_n$两两不同,且必存在$l\in G$,使$g_ig_l=g_k$。因此对$\forall i,k\in [1,n]$,方程$g_ix=g_k$$G$中有解。同理,对$\forall i,k\in [1,n]$,方程$yg_i=g_k$$G$中有解,由3题的结论可知,$(G,\circ)$是群。


5、设$G$是群,$a,b\in G$,如果$aba^{-1}=b^r$,证明$a^iba^{-i}=b^{r^i}$.

解答: 利用数学归纳法,$n=1$时有$a^nba^{-n}=b^{r^n}$. 假设当$n=i-1$时,命题成立,则 $$a^iba^{-i}=a(a^{i-1}ba^{-(i-1)})a^{-1}=ab^{r^{i-1}}a^{-1}=(aba^{-1})^{r^{i-1}}=(b^r)^{r^{i-1}}=b^{r^i},$$ 因此当$n=i$时,命题成立。


6、证明不存在恰有两个2阶元素的群。

解答: 假设群$G$中的两个2阶元素$a,b$,则$ab\ne a$,否则$aab=aa\Rightarrow b=e$,与$b$是2阶元素矛盾,同理可得$ab\ne b$。现考虑元素$aba\in G$,易知$aba\ne a$,否则$abaa=aa\Rightarrow ab=a$,矛盾,同理可得$aba\ne b$。又有$aba\ne e$(其中$e\in G$为群$G$的幺元),否则$abaa=ea\Rightarrow ab=a$,矛盾。而$(aba)^2=(aba)(aba)=e$,即$aba$是群$G$中不同于$a,b$的另一个2阶元素,因此命题得证。


7、设$G$是群,如果对于任意的$a,b\in G$,都有$(ab)^2=a^2b^2$,证明$G$是交换群。并由此证明:如果$exp(G)=2$,则$G$交换。

解答: $(ab)^2=a^2b^2$ $\Rightarrow abab=aabb$ $\Rightarrow a^{-1}ababb^{-1}=a^{-1}aabbb^{-1}$ $\Rightarrow ab=ba$ ,由$a,b$的任意性可知$G$是交换群。如果$exp(G)=2$,则任意$a,b\in G$,有$a^2=e$$b^2=e$$(ab)^2=e$,因此有$(ab)^{-1}=ab$ $\Rightarrow b^{-1}a^{-1}$ $=ba=ab$.


8、在$S_3$中找出两个元素$x,y$,使得$(xy)^2\ne x^2y^2$.

解答: $(xy)^2\ne x^2y^2$当且仅当$xy\ne yx$,令$x=(12), y=(13)$,则$xy=(132), yx=(123)$,因此有$xy\ne yx$.


9、设$G$是群,$i$为任一确定的正整数。如果对于任意的$a,b\in G$,都有$(ab)^k=a^kb^k$$k=i,i+1,i+2$,证明$G$是交换群。

解答: 由题可知,$(ab)^i=a^ib^i$$(ab)^{i+1}=a^{i+1}b^{i+1}$$(ab)^{i+2}=a^{i+2}b^{i+2}$. 而$(ab)^{i+1}=a(ba)^{i}b$$(ab)^{i+2}=a(ba)^{i+1}b$,因此$(ab)^i=(ba)^i$ $,(ab)^{i+1}=(ba)^{i+1}$,从而$(ab)^i(ab)=(ba)^i(ba)$ $=(ab)^i(ba)$. 两边乘以$((ab)^i)^{-1}$,得$ab=ba$. 由$a,b$的任意性,可得$G$是交换群。


10、证明:群$G$为交换群当且仅当$x\mapsto x^{-1}(x\in G)$是同构映射。

解答:$h:x\mapsto x^{-1}(x\in G)$$G$到自身的映射。若$h$为同构,则$\forall x,y\in G$$h(xy)=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ $=h(y)h(x)=h(yx)$,因此$xy=h^{-1}h(xy)=h^{-1}h(yx)=yx$. 反之,若$G$是交换群,则$\forall x,y\in G$$h(xy)=h(yx)=(yx)^{-1}=x^{-1}y^{-1}=h(x)h(y)$,因此$h$是群同态。同时,对$\forall y\in G$$h(y^{-1})=y$,因此$h$是满同态,而$h(y)=0\Rightarrow y^{-1}=e\Rightarrow y=e$,因此$h$是单同态,从而$h$是同构。